By Heinz Lüneburg
Dieses zweib?ndige Werk handelt von Mathematik und ihrer Geschichte. Die sorgf?ltige examine dessen, used to be die Alten bewiesen - meist sehr viel mehr, als sie ahnten -, f?hrt zu einem besseren Verst?ndnis der Geschichte und zu einer guten Motivation und einem ebenfalls besseren Verst?ndnis heutiger Mathematik. Der zweite Band beginnt mit der gro?en Arbeit von Lagrange von 1770/71, die sp?ter Galois inspirierte. Um sie zu verstehen, ben?tigt guy den Begriff der Resultanten von Polynomen. Dieser wird bereitgestellt, zusammen mit Algorithmen zu ihrer Berechnung, die aus dem 20. Jahrhundert stammen. Zentral sind dann Arbeiten von Steinitz und Galois. F?r diese wird transfiniten Methoden und Gruppen sowie der Geschichte beider Themen entsprechender Raum gewidmet. Viel gesagt wird auch ?ber die Kreisteilungspolynome. Um die Transzendenz von Pi zu beweisen, werden schlie?lich auch noch topologische Methoden behandelt.
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Von Zahlen und Größen: dritthalbtausend Jahre Theorie und Praxis 2
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Example text
Dass die Charakteristik 0 ist, ist hier wesentlich, da bei der Transformation durch die nat¨ urliche Zahl n dividiert wird. Was wir gerade machten, verbirgt sich bei Lagrange unter dem W¨ ortchen be” kannt“. Wie bewusst sich Lagrange der Problematik war, wird uns verborgen bleiben. Wir halten aber fest, dass Lagrange konstatiert, dass es gen¨ uge, sich die Gleichung x3 + nx + p = 0 anzusehen. In dieser Form h¨atten Scipione del Ferro und Tartaglia die kubischen Gleichungen zuerst behandelt. Wir wissen, dass sie in Wirklichkeit drei Typen von Gleichungen dritten Grades ohne quadratisches Glied hatten, von denen del Ferro nur einen beherrschte.
Es sei k = n2 . F¨ ur die Koeffizienten an,i gilt dann: a) Es ist an,0 = 1 f¨ ur alle n ∈ N. b) Es ist an,1 = n f¨ ur alle n ∈ N − {1}. c) Es ist an+1,i = an,i + an−1,i−1 f¨ ur alle n ∈ N und alle i := 1, . . , k. d) Ist n = 2k, so ist an,k = 2. aß Korollar 2 so aus: Der Anfang der Tabelle der an,i sieht dann gem¨ 1 2 3 4 5 6 7 8 : : : : : : : : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 5 5 6 9 2 7 14 7 8 20 16 2 Blickt man einen Augenblick auf diese Tabelle, so sieht man auch die G¨ ultigkeit des folgenden Korollars.
K. Ist nk > 0, so gilt dies auch noch f¨ Ist nk = 0, so ist die erste Aussage von a) leer. Es sei also nk > 0. Dann ist ur j := 0, . . , nk − 1. Nach Satz 3 c) von Abschnitt SRj (f1 , f2 ) ∼ SRj (fk−1 , fk ) f¨ 3 gibt es ein α ∈ R∗ , so dass fk Teiler von αfk−1 ist. Es folgt SRj (fk−1 , fk ) = 0, f¨ ur j := 0, . . , nk − 1. Damit ist die erste Aussage von a) bewiesen. Es sei 3 ≤ i ≤ k. Ist ni < j < ni−1 − 1, so ist SRj (fi−2 , fi−1 ) = 0 nach Satz 2 c), so dass wegen SRj (f1 , f2 ) ∼ SRj (fi−2 , fi−1 ) die Aussage a) vollst¨andig bewiesen ist.