By Sinan Sertoz
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Example text
Soit x I'appIication canonique de G/H sur 60 INTEGRATION chap. VII, § 2 G/Gf. Alors n ( v ) est une mesure positive bornée non nulle invariante par G. Donc la mesure de Haar à gauche du groupe G/G, est barnée, de sorte que G/Gr est compact ( $ 1, no 2, prop. 2). Par suite l'image de G par AG est un sous-groupe compact de RT ; ce sous-groupe est réduit à (11, donc A, = 1 sur t o u t G. 7. Mesure de Haar sur un groupe quotient. PROPOSITION 10. - Soient G un groupe localement compact, G' un sous-groupe distingué fermé, G" le groupe G/G1, x l'application canonique de G sur G/G', a, cir, a" des mesures de Haar à gauche sur G, Gr, G".
L'application f f b d e Z ( X ) d a n s &(X/H) est linéaire, et l'image d e X(X) (resp. %"(X/H) (resp. X+(X/H)). - Remarque 1. - On v a montrer que l'application f fb est un morphisme strict (Top. , chap. , 5 2, no 8) de S ( X ) sur X(X/H). a) Cette application est continue : il suffit de prouver que, pour toute partie compacte K de X, la restriction à X(X, K) de f fb est une application continue de X(X, K) dans X(X/H, n(K)) (Esp. uect. , chap. II, 5 2, n o 2, cor. de la prop. 1) ; comme H opère proprement dans X, l'ensemble P des E ,= H tels que K& rencontre K est compact ; on conclut de (3) que sup Ifb(n(x))l L p(P) sup If(x)l, et ceci prouve notre assertion.
Soit 3 un filtre sur d(X/H) ; dire que limA,% h#(f) = O pour toute f E Z ( X ) équivaut à dire que limA,% h(ff) = O pour toute f' E Z(X/H) ; l'application A A # est donc, pour les topologies vagues, un isomorphisme de A(X/H) sur un sous-espace vectoriel de &()o. Ce sous-espace est vaguement fermé, puisqu'il est l'ensemble des p E d ( X ) telles que S([)p = AH(E)p pour tout 5 E H. Il est clair que les conditions h O e t h* 3 O sont équivalentes. La formule (6) s'écrit, par analogie avec la notation usuelle pour les intégrales doubles - Il s'agit d'un abus de notations, l'intégrale j f(xQdp(9 6tant H considérée comme fonction de 2 et non de x ; cette manière d'écrire s'emploiera souvent par la suite quand elle ne pourra prêter à confusion.