By Wolfgang Kühnel
Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, used to be durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. Im Laufe der Neuauflagen wurde der textual content erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der textual content wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.
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Example text
35. Fabricius-Bjerre8 ) F¨ ur jede generische und geschlossene ebene Kurve gilt die Gleichung 1 N + = N − + D + W. 2 Dabei bedeutet generisch“, daß die Kurve nur einfache Doppelpunkte und Doppeltan” genten hat (keine dreifachen oder h¨oheren), daß in solchen Doppelpunkten die beiden Tangenten linear unabh¨angig sind und daß in allen Punkten mit κ = 0 jedenfalls κ′ = 0 gilt und daß keine Doppeltangente die Kurve in einem Wendepunkt ber¨ uhrt. ¨ Ubungsaufgaben 1. Die Kr¨ ummung und die Torsion einer Frenet–Kurve c(t) im IR3 sind in beliebiger Parametrisierung gegeben durch die Formeln κ(t) = Det(c, ˙ c¨,˙¨ c) ||c˙ × c¨|| und τ (t) = .
Dann gilt f¨ ur die sph¨ arische Kurve c′ ||(c′ )′ ||ds = κds, also stimmt l¨angs der gegebenen Kurve c das Bogenelement von c′ dort, wo c′ regul¨ ar ist, mit κds u angenparameter der ¨berein. a. nicht mehr der Bogenl¨ ummung Kurve c′ ist und daß c′ auch nicht u ¨berall regul¨ar sein muß. Die totale Absolutkr¨ l ′ κ(s)ds ist also nichts anderes als die Gesamtl¨ a nge von c als sph¨ a rische Kurve. Dabei 0 sind mehrfach durchlaufene Teile von c′ auch mehrfach zu z¨ ahlen. 32 f¨ ur ebene Kurven gen¨ ugt es im folgenden zu zeigen: Die L¨ange L der sph¨arischen Kurve c′ ist strikt gr¨oßer als 2π, wenn c eine geschlossene, aber nicht-ebene Kurve ist.
Das 3 euklidische Skalarprodukt X, Y = i=1 xi yi hat ja unter anderem zur Folge, daß die L¨ange ||c|| ˙ der Tangente an eine regul¨are Kurve c(t) niemals verschwinden kann. Es gibt aber nun gute Gr¨ unde, auch andere, nicht positiv definite, Skalarprodukte zu betrachten. In der speziellen Relativit¨atstheorie legt man eine Raumzeit von 3 + 1 Dimensionen zugrunde, wobei die Zeit als eine Dimension aufgefaßt wird. In der Richtung dieser Zeit-Koordinate wird dann das Skalarprodukt mit einem negativen Vorzeichen versehen.