# Éléments de Mathématique: Fonctions d'une variable reelle. by Nicolas Bourbaki

By Nicolas Bourbaki

Il contient Ã©galement des notes historiques.

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On dit qu'une application f d'un intervalle 1 c R dans un ensemble E est unefonction en escalier s'il existe une partition de 1 en un nombrefini d'intervalles J , telle quef soit constante dans chacun desJ,. Soit (a,),,,,, la suite strictement croissante formée des extrémités distinctes des J,; comme les J, sont deux à deux sans point commun. chacun d'eux est, soit réduit à un point a,, soit un intervalle ayant pour extrémités deux points consécutifs ai, a,+l; en outre, comme 1 est réunion des J,, a, est l'origine, et a, l'extrémité de 1.

FIn + . a + < i < n) sans ambiguïté (exerc. f(n)]. 4) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Montrer que pour I/x E 1, on a identiquement (raisonner par récurrence sur n). 5 ) Soient u et v deux fonctions numériques finies n fois dérivables dans un intervalle 1 c R. Si l'on pose Dn(u/u) = ( - l)nwn/vn+len tout point x où v(x) # O, montrer que l'on a (posant w = u/v, dériver n fois la relation u = wu). 6 ) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle ouvert 1 c R, prenant ses valeurs dans un espace normé E.

2 O La condition est su\$sante.