By Fredon D., Bertrand F., Maumy-Bertrand M.
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Zk kπ n on a : kπ kπ kπ (a − b) cos − i (a + b) sin − bei n n n = = kπ kπ −2 i sin −2 i sin n n kπ a+b a−b = +i cot . 2 2 n ae−i kπ n On constate que les images des solutions appartiennent toutes à la droite d'équation x = a+b 2 · FICHE 9 – Nombres complexes 47 FICHE 10 Nombres complexes et géométrie a = a1 + i a2 et b = b1 + i b2 sont deux nombres complexes donnés (cf. fiche 9). I • Transformations géométriques Translation L'application de C dans C : z → z + b, se traduit sur les images par la translation → → v .
Application Trouvez les points M d'affixe z tels que les images de z , z 2 et z 3 forment un triangle rectangle. Solution Si z = 0 ou z = 1, le triangle est réduit à un point. Si z = −1, le triangle est aplati. Supposons donc que z est différent de ces trois valeurs, et notons M1 , M2 , M3 les images respectives de z , z 2 , z 3 . Trois cas sont à considérer. 50 Algèbre et géométrie en 30 fiches 1 0 • Triangle rectangle en M1 Première solution Le triangle M1 M2 M3 est rectangle en M1 si, et seulement si : π π z3 − z = arg (z + 1) = ± ⇐⇒ arg 2 2 z −z 2 soit z = −1 + i b avec b ∈ R.
Par hypothèse, il existe un élément h 1 de H1 qui n'appartient pas à H2 , et un élément h 2 de H2 qui n'appartient pas à H1 . Montrons que h 1 + h 2 n'appartient pas à H1 ∪ H2 . Si l'on avait h 1 + h 2 ∈ H1 , alors (h 1 + h 2 ) − h 1 = h 2 appartiendrait au sous-groupe H1 , ce qui est contraire à l'hypothèse. On montre de même que h 1 + h 2 n'appartient pas à H2 . / H1 ∪ H2 . On a donc h 1 ∈ H1 ∪ H2 , h 2 ∈ H1 ∪ H2 et h 1 + h 2 ∈ Comme H1 ∪ H2 n'est pas stable pour +, ce n'est pas un sous-groupe.