# Mathematiques, algebre-geometrie en 30 fiches by Fredon D., Bertrand F., Maumy-Bertrand M.

By Fredon D., Bertrand F., Maumy-Bertrand M.

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The geometry of actual submanifolds in advanced manifolds and the research in their mappings belong to the main complicated streams of latest arithmetic. during this region converge the options of assorted and complicated mathematical fields comparable to P. D. E. 's, boundary worth difficulties, precipitated equations, analytic discs in symplectic areas, complicated dynamics.

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Zk kπ n on a : kπ kπ kπ (a − b) cos − i (a + b) sin − bei n n n = = kπ kπ −2 i sin −2 i sin n n kπ a+b a−b = +i cot . 2 2 n ae−i kπ n On constate que les images des solutions appartiennent toutes à la droite d'équation x = a+b 2 · FICHE 9 – Nombres complexes 47 FICHE 10 Nombres complexes et géométrie a = a1 + i a2 et b = b1 + i b2 sont deux nombres complexes donnés (cf. fiche 9). I • Transformations géométriques Translation L'application de C dans C : z → z + b, se traduit sur les images par la translation → → v .

Application Trouvez les points M d'affixe z tels que les images de z , z 2 et z 3 forment un triangle rectangle. Solution Si z = 0 ou z = 1, le triangle est réduit à un point. Si z = −1, le triangle est aplati. Supposons donc que z est différent de ces trois valeurs, et notons M1 , M2 , M3 les images respectives de z , z 2 , z 3 . Trois cas sont à considérer. 50 Algèbre et géométrie en 30 fiches 1 0 • Triangle rectangle en M1 Première solution Le triangle M1 M2 M3 est rectangle en M1 si, et seulement si : π π z3 − z = arg (z + 1) = ± ⇐⇒ arg 2 2 z −z 2 soit z = −1 + i b avec b ∈ R.

Par hypothèse, il existe un élément h 1 de H1 qui n'appartient pas à H2 , et un élément h 2 de H2 qui n'appartient pas à H1 . Montrons que h 1 + h 2 n'appartient pas à H1 ∪ H2 . Si l'on avait h 1 + h 2 ∈ H1 , alors (h 1 + h 2 ) − h 1 = h 2 appartiendrait au sous-groupe H1 , ce qui est contraire à l'hypothèse. On montre de même que h 1 + h 2 n'appartient pas à H2 . / H1 ∪ H2 . On a donc h 1 ∈ H1 ∪ H2 , h 2 ∈ H1 ∪ H2 et h 1 + h 2 ∈ Comme H1 ∪ H2 n'est pas stable pour +, ce n'est pas un sous-groupe.