By Pisier G.
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35. Fabricius-Bjerre8 ) F¨ ur jede generische und geschlossene ebene Kurve gilt die Gleichung 1 N + = N − + D + W. 2 Dabei bedeutet generisch“, daß die Kurve nur einfache Doppelpunkte und Doppeltan” genten hat (keine dreifachen oder h¨oheren), daß in solchen Doppelpunkten die beiden Tangenten linear unabh¨angig sind und daß in allen Punkten mit κ = 0 jedenfalls κ′ = 0 gilt und daß keine Doppeltangente die Kurve in einem Wendepunkt ber¨ uhrt. ¨ Ubungsaufgaben 1. Die Kr¨ ummung und die Torsion einer Frenet–Kurve c(t) im IR3 sind in beliebiger Parametrisierung gegeben durch die Formeln κ(t) = Det(c, ˙ c¨,˙¨ c) ||c˙ × c¨|| und τ (t) = .
Dann gilt f¨ ur die sph¨ arische Kurve c′ ||(c′ )′ ||ds = κds, also stimmt l¨angs der gegebenen Kurve c das Bogenelement von c′ dort, wo c′ regul¨ ar ist, mit κds u angenparameter der ¨berein. a. nicht mehr der Bogenl¨ ummung Kurve c′ ist und daß c′ auch nicht u ¨berall regul¨ar sein muß. Die totale Absolutkr¨ l ′ κ(s)ds ist also nichts anderes als die Gesamtl¨ a nge von c als sph¨ a rische Kurve. Dabei 0 sind mehrfach durchlaufene Teile von c′ auch mehrfach zu z¨ ahlen. 32 f¨ ur ebene Kurven gen¨ ugt es im folgenden zu zeigen: Die L¨ange L der sph¨arischen Kurve c′ ist strikt gr¨oßer als 2π, wenn c eine geschlossene, aber nicht-ebene Kurve ist.
Das 3 euklidische Skalarprodukt X, Y = i=1 xi yi hat ja unter anderem zur Folge, daß die L¨ange ||c|| ˙ der Tangente an eine regul¨are Kurve c(t) niemals verschwinden kann. Es gibt aber nun gute Gr¨ unde, auch andere, nicht positiv definite, Skalarprodukte zu betrachten. In der speziellen Relativit¨atstheorie legt man eine Raumzeit von 3 + 1 Dimensionen zugrunde, wobei die Zeit als eine Dimension aufgefaßt wird. In der Richtung dieser Zeit-Koordinate wird dann das Skalarprodukt mit einem negativen Vorzeichen versehen.