# Geometrie differentielle, groupes et algebres de Lie, fibers by Masson T.

By Masson T.

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Real Methods in Complex and CR Geometry: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca, Italy, June 30 - July 6, 2002

The geometry of genuine submanifolds in complicated manifolds and the research in their mappings belong to the main complex streams of up to date arithmetic. during this zone converge the ideas of varied and complicated mathematical fields similar to P. D. E. 's, boundary worth difficulties, prompted equations, analytic discs in symplectic areas, complicated dynamics.

Designing fair curves and surfaces: shape quality in geometric modeling and computer-aided design

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Si u : Rn → Tp M est un isomorphisme d’espaces vectoriels, alors expp ◦u : W ⊂ Rn → Up définit une carte locale (Up , (expp ◦u)−1 ) contenant p. Les coordonnées sur Up données par cette carte locale sont les coordonnées normales en p associées à ∇ et u. Elles sont centrées en p. Dans ce système de coordonnées, si X|p ∈ Tp M s’écrit X|p = (X 1 , . . 4. Variétés riemanniennes 47 En particulier, si la connexion est sans torsion, on a Γijk (p) = 0 Bien sûr, en dehors du point p, les symboles de Christoffel n’ont aucune raison d’être nuls.

En utilisant une partition de l’unité sur M , nous pouvons définir l’intégrale f dv M où « dv = |g|dx1 . . dxn » est l’élément de volume riemannien de (M, g). Dans cette définition de l’intégrale, nous ne définissons donc pas un objet global qui serait une n-forme différentielle partout non nulle, mais une « mesure de Lebesgue » dv. Géométriquement, cet objet est une densité sur M . 2. Connexion de Lévi-Civita Connexion linéaire compatible avec une métrique Une connexion linéaire ∇ sera dite compatible avec la métrique g si X · g(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z) pour trois champs de vecteurs quelconques X, Y, Z sur M .

3. Connexions linéaires 35 Définition Une connexion linéaire est une application ∇ : Γ(M ) × Γ(M ) → Γ(M ) telle que, pour tous X, X , Y, Y ∈ Γ(M ) et f ∈ F (M ) : – ∇X+X Y = ∇X Y + ∇X Y ; – ∇f X Y = f ∇X Y , F (M )-linéarité sur le premier argument ; – ∇X (Y + Y ) = ∇X Y + ∇X Y ; – ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (X · f )Y . De cette définition, il est possible de montrer que (∇X Y )|p ne dépend que de X|p et de Y et de ses dérivées en p. C’est à dire que pour tout ouvert U contenant p, ce vecteur en p ne peut dépendre que de Y|U et de X|p .