By Francois Gieres
This monograph offers a close and pedagogical account of the geometry of inflexible superspace and supersymmetric Yang-Mills theories. whereas the middle of the textual content is anxious with the classical concept, the quantization and anomaly challenge are in brief mentioned following a entire advent to BRS differential algebras and their box theoretical purposes. one of the taken care of subject matters are invariant kinds and vector fields on superspace, the matrix-representation of the super-Poincar? workforce, invariant connections on reductive homogeneous areas and the supermetric process. a variety of features of the topic are mentioned for the 1st time in textbook and are constantly awarded in a unified geometric formalism. Requiring basically no historical past on supersymmetry and just a simple wisdom of differential geometry, this article will function a mathematically lucid creation to supersymmetric gauge theories.
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Si u : Rn → Tp M est un isomorphisme d’espaces vectoriels, alors expp ◦u : W ⊂ Rn → Up définit une carte locale (Up , (expp ◦u)−1 ) contenant p. Les coordonnées sur Up données par cette carte locale sont les coordonnées normales en p associées à ∇ et u. Elles sont centrées en p. Dans ce système de coordonnées, si X|p ∈ Tp M s’écrit X|p = (X 1 , . . 4. Variétés riemanniennes 47 En particulier, si la connexion est sans torsion, on a Γijk (p) = 0 Bien sûr, en dehors du point p, les symboles de Christoffel n’ont aucune raison d’être nuls.
En utilisant une partition de l’unité sur M , nous pouvons définir l’intégrale f dv M où « dv = |g|dx1 . . dxn » est l’élément de volume riemannien de (M, g). Dans cette définition de l’intégrale, nous ne définissons donc pas un objet global qui serait une n-forme différentielle partout non nulle, mais une « mesure de Lebesgue » dv. Géométriquement, cet objet est une densité sur M . 2. Connexion de Lévi-Civita Connexion linéaire compatible avec une métrique Une connexion linéaire ∇ sera dite compatible avec la métrique g si X · g(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z) pour trois champs de vecteurs quelconques X, Y, Z sur M .
3. Connexions linéaires 35 Définition Une connexion linéaire est une application ∇ : Γ(M ) × Γ(M ) → Γ(M ) telle que, pour tous X, X , Y, Y ∈ Γ(M ) et f ∈ F (M ) : – ∇X+X Y = ∇X Y + ∇X Y ; – ∇f X Y = f ∇X Y , F (M )-linéarité sur le premier argument ; – ∇X (Y + Y ) = ∇X Y + ∇X Y ; – ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (X · f )Y . De cette définition, il est possible de montrer que (∇X Y )|p ne dépend que de X|p et de Y et de ses dérivées en p. C’est à dire que pour tout ouvert U contenant p, ce vecteur en p ne peut dépendre que de Y|U et de X|p .