By Mathias Wilke, Jan W. Prüss
Die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und dynamischer Systeme spielt eine zentrale Rolle in der Modellierung realer zeitabhängiger Prozesse. Damit gehört sie zur universitären Grundausbildung von Mathematikern, Physikern, Informatikern und Ingenieuren und sollte auch in den Life-Sciences und den Wirtschaftswissenschaften präsent sein. Das vorliegende Lehrbuch beinhaltet eine moderne Darstellung dieser Theorie, wobei der Schwerpunkt auf Dynamik gelegt ist. Neben den klassischen Inhalten werden diversified neue Resultate präsentiert, die bisher nicht in Lehrbüchern verfügbar sind. Eine besondere Stärke des Buchs liegt in den Beispielen und Anwendungen der Modellierung, denen viel Raum gewidmet ist, um die Leistungsfähigkeit der Theorie zu belegen.
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1). Existenz nach links erh¨alt man mittels Zeitumkehr, mit einem ggf. kleinerem δ > 0. Die resultierende L¨osung ist stetig differenzierbar auch in t0 , da x(t) ˙ aufgrund der Differentialgleichung auch in t = t0 stetig ist. 3. 1. 2 nur von δ0 , r und m abh¨angt, nicht aber von der Konstanten L > 0. Diese Tatsache kann man verwenden, um lokale Existenz f¨ ur rechte Seiten f zu erhalten, die stetig aber nicht notwendig lokal Lipschitz in x sind (Existenzsatz von Peano, vgl. Kapitel 6). 2. Ist (tk , xk ) → (t0 , x0 ) ∈ G eine Folge in G, dann existiert ein gleichm¨aßiges δ > 0, sodass die Anfangswertprobleme x˙ = f (t, x), x(tk ) = xk f¨ ur hinreichend große k genau eine L¨ osung xk (t) auf [tk , tk + δ] besitzen.
4. Differential- und Integralungleichungen 37 Beispiel. Betrachten wir ein AWP, dessen L¨ osung sich nicht analytisch elementar angeben l¨asst: x˙ = t2 + x2 , x(0) = 0. Sei zun¨achst t < 1. Dann gilt t2 + x2 < 1 + x2 und wir betrachten das Vergleichsproblem y˙ = 1 + y 2 , y(0) = tan(ε), mit einem hinreichend kleinen ε > 0. 2 folgt x(t) < y(t) = tan(t + ε) f¨ ur alle 0 ≤ t < 1. Ferner ist x(t) ˙ > t2 , also x(t) > 13 t3 f¨ ur alle t ∈ (0, 1]. Insbesondere gilt also x(1) > 1/3. F¨ ur t ≥ 1 betrachten wir nun das Vergleichsproblem y˙ = 1 + y 2 , y(1) = 13 .
X˙ = t2 + x2 = f (t, x). Setze x˙ = c = const. Dann gilt c = t2 + x2 . √ Die Isoklinen sind also Kreise um den Nullpunkt mit dem Radius c; vgl. Abb. 5. In allen Punkten auf dem Kreis ist der Anstieg gleich c. Variiert man nun c ∈ (0, ∞), so erh¨alt man eine Isoklinenschar f¨ ur die Differentialgleichung x˙ = f (t, x). 5. 9) als Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es sei ein Anfangswert x(t0 ) = x0 gegeben. 1. Seien h : (α, β) → R und g : (a, b) → R stetig, t0 ∈ (α, β), x0 ∈ (a, b), x 1 t G(x) := x0 g(s) ds, sofern g(x0 ) = 0 und H(t) := t0 h(τ )dτ.