By Hans Kerner
Dieses Buch ist eine Darstellung des Mathematikstoffs f?r Physiker, die etwa einem vierst?ndigen Vorlesungsprogramm von vier Semestern entspricht. Das Buch umfa?t neben linearer Algebra , Funktionentheorie und klassischen Gebieten auch Distributionen, Anfangs- und Randwertprobleme f?r Differentialgleichungen und eine Einf?hrung in die Funktionalanalysis. Ein Ziel ist es, auch neuere Methoden der Mathematik, die in der Physik Eingang gefunden haben, vorzustellen. So werden der Kalk?l der Differentialformen und ihre Anwendungen, Distributionen, Fundamentall?sungen von Differentialgleichungen, Hilbert-R?ume und Operatoren hier behandelt. Zahlreiche Erl?uterungen, Beispiele sowie ?bungsaufgaben und ihre L?sungen unterst?tzen die Lekt?re und erg?nzen den textual content.
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Es ist 1 an+1 n+1 · |z| = (1 + ) · |z|. = an n n Weil q |z| > 1 ist, gibt es ein m ∈ N mit 1+ Daher ist f¨ur n ≥ m 1 q ≤ . m |z| an+1 1 = (1 + ) · |z| ≤ q an n ∞ und daraus folgt die Konvergenz von nz n−1 . 3 zeigen wir, dass man konvergente Potenzreihen gliedweise differenzieren darf. Damit ergibt sich: ∞ nz n−1 = n=1 d dz ∞ zn = n=0 d dz 1 1−z = 1 . 5 Reihen 23 Wir behandeln nun weitere wichtige Beispiele. Zun¨achst eine Definition: F¨ur n ∈ N setzt man n! := 1 · 2 · 3 · ... · n und 0! := 1. 15 Die Reihe ∞ z2 z3 zn =1+z+ + + ...
N − 1)! (n − k)! (n − k − 1)! (n − 1)! n! (n − 1)! · k (n − 1)! (n − k)! (n − k)! (n − k)! (n − k)! Auf die Bedeutung dieses Hilfssatzes gehen wir sp¨ater ein. 5 (Binomischer Lehrsatz) F¨ur alle n ∈ N und x, y ∈ C gilt: n n n−k k y x k (x + y)n = k=0 Beweis. Wir f¨uhren den Beweis durch vollst¨andige Induktion. Der Induktionsanfang 1 1 x+ y 0 1 (x + y)1 = ist offensichtlich richtig. Nun setzen wir voraus, dass n−1 (x + y)n−1 = k=0 n − 1 n−1−k k y x k gilt. Multipliziert man diese Gleichung mit x + y, so erh¨alt man (x + y)n = (x + y) · n−1 k=0 = x· n−1 k=0 n−1 = k=0 n−1 = k=0 = n−1 0 n−1 k xn−1−k y k n−1 k xn−1−k y k n−1 k xn−k y k n−1 k xn−k y k xn = y· + n−1 k=0 n−1 + k=0 n + l=1 n−1 + k=1 n−1 k + n−1 k−1 n−1 k n−1 k n−1 l−1 xn−1−k y k = xn−(k+1) y k+1 = xn−l y l xn−k y k = + n−1 n−1 yn.
K 28 1 Folgen und Reihen n n n = 1 = n0 und n−1 Es ist n−1 0 n−1 = 1 = n ; der erste Summand ist also 0 x n n und der letzte ist n y . 4 n−1 n−1 n + = ; k k−1 k und daher ergibt sich (x + y)n = n n x + 0 n−1 k=1 n n n n−k k y + y = x n k n k=0 n n−k k y . x k Damit ist der binomische Lehrsatz bewiesen. 4 zur Berechnung der Binomialkoeffizienten verwenden kann. W¨ahlt man eine nat¨urliche Zahl n > 1 und schreibt die zu n − 1 geh¨orenden Binomialkoeffizienten in eine Zeile, so erh¨alt man durch Adn−1 den Koeffizienten dition der nebeneinander stehenden Koeffizienten n−1 k−1 + k n k : n−1 n−1 n−1 ...