By Britta Herz, Ralf Hlawatsch, Florian Don-Schauen
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Ein wenig schwieriger wird es, die beiden Flächenstücke an der Übergangs1 1 stelle C oder G stetig zu gestalten. Wir wissen jedoch, wie sich die Randableitungen, d. h. die partiellen Ableitungen an den Rändern, berechnen. 1 Um zwei Pflaster entlang der Randkurve in v-Richtung (C -stetig) aneinanderschließen zu können, müssen erstens die beiden Pflaster dieselbe Randkurve in v-Richtung besitzen, d. ,n, und zweitens müssen entlang der Randkurve, d. h. zu jedem festen v, die Ableitungen in u-Richtung in Betrag und Richtung überein1 stimmen.
Zunächst betrachten wir zur Begriffsklärung allgemeine Flächenfunktionen. Sei Ω⊆ℝ2 ein Gebiet in der Ebene − der Parameterbereich. Meist verwendet man Rechtecks- oder Dreiecksgebiete als Parameterbereich. Eine Fläche ist eine Abbildung q: Ω→ℝd. Im Falle d=3 und Ω=[0,1]×[0,1] ist eine Fläche also durch drei Koordinatenfunktionen x, y und z in jeweils zwei Parametern u und v gegeben: ⎛ x(u, v ) ⎞ ⎜ ⎟ q : (u, v ) → ⎜ y(u, v ) ⎟ , (u, v ) ∈[0,1]2 ⎜ z(u, v ) ⎟ ⎝ ⎠ Stetigkeit von Flächen Reguläre Flächen Wieder sind wie im Kurvenfall d Koordinatenfunktionen zu wählen, die Stetigkeitseigenschaften besitzen.
1 Modellierung virtueller Welten ■ ■ ■ 43 Abb. 33: Aneinanderfügen zweier Bézier-Tensorproduktflächen Sollen sie stetig aneinandergefügt werden, so müssen die jeweiligen Randpunkte der Kontrollnetze an der Anschlussstelle identisch sein. Dann besitzen die beiden Bézierflächen dieselbe Randkurve. Ein wenig schwieriger wird es, die beiden Flächenstücke an der Übergangs1 1 stelle C oder G stetig zu gestalten. Wir wissen jedoch, wie sich die Randableitungen, d. h. die partiellen Ableitungen an den Rändern, berechnen.