Kombinatorische Entscheidungsprobleme: Methoden und by Thomas M. Liebling (auth.), Thomas M. Liebling, Max Rössler

By Thomas M. Liebling (auth.), Thomas M. Liebling, Max Rössler (eds.)

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Man betrachte nun folgendes J J J J Problem der linearen Programmierung. Sei M = (E, F) ein Matroid mit Rangfunktion r(A), Ac E, und des sen Elemente j die Gewichte c. : jEE) = max! J J Edmonds [6) zeigt, dass diese Aufgabe, welche 1E ( 10) I Variable und 21E I Restrik- tionen besitzt, durch den Greedy-Algorithmus 16sbar ist, indem er das dazu duale Problem heranzieht. Er beweist gleichzeitig folgenden Satz: Sei durch (8) und (9) definierte Polyeder in R IE I. r das Dann besteht eine eineindeutige Beziehung zwischen den unabhangigen Mengen vom Matroid M und den Extremalpunkten von r, d.

Darauf solI hier nicht weiter eingegangen werden. Man erkennt, dass der Matroidenbegriff eine echte Verallgemeinerung desjenigen der linearen Unabhangigkeit darstellt. Nachzuweisen, ob ein Gebilde ein Matroid ist, kann kompliziert sein. Meist kann man Eigenschaft (i) muhelos prufen; die Schwierigkeiten ergeben sich bei (ii). In Beispiel (1) ergibt sich der Nachweis entweder direkt durch kombinatorische Ueberlegungen oder indem das Beispiel als ein spezielles Transversal-Matroid dargestellt wird.

F(u,u',u") 28 o o - 2. 16 - oder explizite ausgedruckt: aus der ersten Bedingung [e. l u '. J J J o [-kj+xj1uj' 0 aus der zweiten Bedingung Daraus leiten sich die folgenden Bedingungen ab: was allerdings auch fUr x. = 0 J erfiillt sein muss, wegen der Restriktionsgleichungen in (7) u '. > 0 J => x. J = e. " > 0 J => x. J = k. J J Die nichtnegativen Variablen u ' und u" lassen sich nun mit Hilfe der folgenden Fallunterscheidung aus den obigen Bedingungen eliminieren: 1. x. : J Es muss u. a. " = 0 und u '.

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